TEMA 2. - Números Enteros: Multiplicación y división

Multiplicación de dos números  enteros

• Si los dos números tienen el mismo signo,  se multiplican los números sin el signo y el producto será positivo.

• Si los dos números tienen distintos signos, se multiplican los números sin el signo, y el producto será negativo. 

Al multiplicar dos números enteros se deben tener en cuenta la ley de los signos. 
Ley de los signos.                       Ejemplos                        

−    x  −   =  +                             - 2  x(- 5) = 10
+    x  +  =  +                                   2  x  5  =  10 
+  x  −   =   −                                  2 x(- 5) = -10
−   x +   =  −                                  −2  x  5  = -10

                                                           
Multiplicación de tres o más números enteros.         

para multiplicar tres o más números enteros se multiplican los números naturales y tendiendo en cuenta el número de factores negativos, se procede así:

• Si el número de factores negativos  es par,el producto es positivo.

• Si el número de factores negativos  es impar,el producto es negativo.

• Si todos todos los factores son positivos,el producto es positivo                                

Nota: La multiplicación se indica con un punto (·), símbolo que se puede omitir si los factores están en paréntesis. Así, a·b = (a)(b)
                                           
Miremos los siguientes ejemplos
                              a.     (-3)(-2)(-5) = -30
                              b.     (-7)(5)  = -35
                              c.     (-3)(4)(2)(-6) = 144
 
                                                                        
Propiedades de la multiplicación.  

Clausurativa: El producto de dos enteros  es un número entero.

Si a, b∈ Z, entonces,  a · b∈ Z

Ejemplo:  4 (-12) = -48        

 

  Asociativa : El producto  de más de dos enteros no dependen de la forma como los asociemos.   

         Si a, b, c∈ Z, entonces       (a · b) · c = a · (b · c)

Ejemplo    Aplicar la propiedad asociativa: 4 x 5 x 3 x 2                       

 Solución. (4 x 5) x (3 x 2)  =  4 x (5 x 3) x  2
                       20   x     6     =  4 x   15   x   2
                             120         =  4   x    30          
                                            = 120

Conmutativa: El orden de factores no altera el producto
                      Si a,b∈Z, entonces,                a · b = b · a

ejemplo     9 x 10 = 90

                 10 x 9 = 90

Modulativa: Todo número entero multiplicado por la unidad da el mismo entero.
                          Si a ∈Z , entonces ,           a · 1 = 1· a  = a

Ejemplo    52 x 1= 52

Distributiva:  El producto de un entero por una suma o diferencia indicada es igual a la suma o a la diferencia de los productos parciales del entero por cada uno de los sumandos.  
                     

 (a + b) · c = ac + bc         (a - b)  · c = ac - bc

Aplicar la propiedad distributiva  a la operación  8 x [ 9 + 10 ]                         

 Solución. 8 x [ 9 + 10 ] = 8x9 + 8x10

                  8  x   19        =  72  +   80                      

                    152             =     152   

 

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División de los números enteros. 

La división de enteros es una operación inversa de la multiplicación, por lo cual el manejo de los signos es similar.

                                                            Ejemplos

−     ÷  −   =   +                                - 20 ÷ (- 5) = 4
+     ÷  +  =    +                                   20   ÷  5  =  4 
+   ÷    −   =   −                                  20  ÷ (- 5) = -4
−    ÷   +   =   −                                 −20   ÷  5  = -4

Por ser la divisón la operación inversa de la multiplicación se cumple :
 
              a ÷ b = c,    si y sólo si       a = b · c

                  Ejemplo: 30 ÷ 5 = 6 si y solo si  30= 5x6
 
En otras palabras, la división permite hallar el factor desconocido de una multiplicación en la que se conoce el producto y un factor.
 
Así, en a ÷ b = c,  a recibe el nombre de dividendo, b el de divisor     y  c  el  cociente. 

1.El cociente de dos números enteros del mismo signo es positivo.
 
2. El cociente de dos números enteros de distinto signo es negativo.
 
La división en el conjunto de los números enteros no cumple las propiedades clausurativa, asociativa, conmutativa, modulativa ni distributiva.

Para hallar el cociente de dos números enteros se debe tener en cuenta que el divisor sea diferente de cero(o)
 
Ejemplos: 
1. Escribir la división como una multiplicación indicada.
 
a. 15 ÷ 5 = 3, entonces 15 = 5 x 3
 
b. (-12) ÷ 4 = -3, entonces  - 12 = 4 x (-3)
 
2.  Convertir los productos en divisiones indicadas.
 
a. (5)(-4) = -20, entonces  (-20) ÷ 5 = - 4  ó  (-20) ÷ 5 =-4